Zajęcia 1.

Temat: Liczby zespolone.

Cele:

• zapoznanie uczniów z definicją liczy zespolonej
• zapoznanie uczniów z postacią algebraiczną i trygonometryczną liczby zespolonej
• interpretacja geometryczna liczby zespolonej
• podstawowe działania na liczbach zespolonych
• zastosowanie liczb zespolonych do rozwiązywania równań
• potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych

Przebieg zajęć:

1. Geneza powstania zbioru liczb zespolonych.

   Liczby zespolone zostały wprowadzone aby można było obliczać pierwiastki parzystych stopni z liczb ujemnych. Przydatne to było do rozwiązywania równań stopnia trzeciego przy użyciu wzorów (Cardana) na ich pierwiastki. Wprowadzono jednostkę urojoną: , a następnie zdefiniowano liczby zespolone.

2. Definicja liczby zespolonej:

   Liczbą zespoloną nazywamy liczbę postaci , gdzie oraz

   

   - część rzeczywista liczby zespolonej

   - część urojona liczby zespolonej

   Przykłady liczb zespolonych: , ,

3. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

    

    

   

   X - oś rzeczywista

   Y - oś urojona

4. Moduł liczby zespolonej.

   Liczbę nazywamy modułem liczby zespolonej, jego sensem geometrycznym jest odległość od liczby 0.

    

   Oblicz moduł liczb zespolonych: , ,

5. Sprzężenie liczby zespolonej.

   Liczbę nazywamy sprzężeniem liczby zespolonej

   Wyznacz sprzężenia liczb zespolonych: , ,

    

6. Podstawowe działania na liczbach zespolonych.
   1. dodawanie

      

   2. odejmowanie

      

   3. mnożenie

      

   4. dzielenie

   

   Niech oraz

   Wykonaj działania: , , , .

    

    

7. Zastosowanie liczb zespolonych do rozwiązywania równań.

   Rozwiąż równania:

   a)

   b)

   c)

    

    

8. Postać trygonometryczna liczby zespolonej.

   Liczba zespolona jest jednoznacznie opisana przez moduł i kąt zwany argumentem liczby zespolonej.

   

    

   Zatem i

   Czyli

   Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby: , , .

9. Potęgowanie liczb zespolonych.

   Niech .

   Potęgę o wykładniku naturalnym liczbyobliczamy ze wzoru:

   

   Oblicz: ,

10. Pierwiastkowanie liczb zespolonych.

Zajęcia 2.

Temat: Macierze i wyznaczniki.

Cele:

• zapoznanie uczniów z definicją macierzy
• działania na macierzach
• określenie macierzy odwrotnej
• określenie macierzy transponowanej
• zapoznanie uczniów z definicją wyznaczników
• ćwiczenie umiejętności obliczania wyznaczników
• wyznaczanie macierzy odwrotnej

Przebieg zajęć:

1. Definicja macierzy.

   Macierzą nazywamy tablicę licz rzeczywistych

   gdzie

   - element macierzy stojący na - tym wierszu oraz -tej kolumnie

   - liczba wierszy

   - liczba kolumn

   Przykłady macierzy:

   , , ,

   Jeżeli m = n to macierz nazywamy kwadratową.

   - macierz jednostkowa

2. Działania na macierzach.

   a) dodawanie i odejmowanie

   Dodawanie (odejmowanie) dwóch macierzy jest wykonalne jeżeli obie

   macierze mają taką samą ilość wierszy i kolumn. Wynikiem jest

   macierz, której elementy powstają przez dodawanie (odejmowanie)

   odpowiednich elementów dodawanych (odejmowanych) macierzy.

   b) mnożenie macierzy przez liczbę

   Wynikiem jest macierz, której elementy powstają z pomnożenia liczby przez każdy element mnożonej macierzy.

   c) mnożenie macierzy

   Mnożenie macierzy jest wykonalne gdy macierz ma tyle kolumn co macierz wierszy.

   

   Element macierzy jest iloczynem - tego wiersza macierzy

   oraz -tej kolumny macierzy .

   Wykonaj działania:

   , ,

   ,

   Uwaga! Mnożenie macierzy nie jest przemienne.

   Wykonaj działania:

   

   

    

3. Macierz transponowana .

   Macierzą transponowaną do macierzy nazywamy macierz , która powstaje przez zapisanie elementów wierszy macierzy w kolumnach.

   Niech . Wyznacz .

    

4. Wyznacznik macierzy kwadratowej .

   W szkole średniej spotykamy się z wyznacznikami rozwiązując układy równań z dwiema lub trzema niewiadomymi.

   Są to wyznaczniki stopnia 2 lub 3

   Oblicz: ,

   Wyznacznik macierzy kwadratowej oznacza się .

   Aby obliczyć wyznacznik stopnia wyższego stosuje wzór Laplace’a rozwijając wyznacznik względem wiersza lub kolumny.

   Jeżeli jest macierzą kwadratową stopnia n to rozwijając wyznacznik

   względem np. pierwszego wiersza otrzymujemy wzór:

   

    

   gdzie oznacza macierz powstałą przez skreślenie pierwszego wiersza

   oraz-tej kolumny.

   Obliczając wyznaczniki warto stosować rozwinięcie względem wiersza lub

   kolumny o największej liczbie elementów równej 0.

   Oblicz wyznacznik:

    

5. Macierz dopełnień algebraicznych .

   Dopełnieniem algebraicznym elementu macierzy kwadratowej nazywamy liczbę . Macierz składająca się z elementów nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych.

   Niech . Wyznacz .

    

6. Macierz odwrotna

.

Zajęcia 3.

Temat: Funkcje dwóch zmiennych.

Cele:

• zapoznanie uczniów z definicją funkcji dwóch zmiennych
• przykłady funkcji dwóch zmiennych
• wyznaczanie dziedziny funkcji dwóch zmiennych
• przykłady wykresów funkcji dwóch zmiennych
• wyznaczanie pochodnych cząstkowych funkcji dwóch zmiennych
• wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych

Przebieg zajęć:

1. Definicja funkcji dwóch zmiennych.

   Niech oznacz pewien podzbiór zbioru par uporządkowanych gdzie oraz .

   Funkcją dwóch zmiennych nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdej parze przyporządkowano dokładnie jedną liczbę rzeczywistą . Zbiór nazywamy dziedziną funkcji

   Przykłady:

   

   

   

   

2. Określanie dziedziny funkcji dwóch zmiennych.

   Dziedzina funkcji dwóch zmiennych jest podzbiorem zbioru punktów płaszczyzny układu współrzędnych OXY.

   Wyznacza się ją poprzez rozwiązywanie warunków związanych z wykonalnością działań.

   Przykład:

   

   Liczba podpierwiastkowa musi spełniać warunek:

   Zatem .

   Stąd dziedzina jest kołem o środku w punkcie (0,0) i promieniu 2.

   

   Wyznacz dziedzinę funkcji:

   a)

   b)

   c)

    

3. Wykres funkcji dwóch zmiennych.

   Wykresem funkcji dwóch zmiennych jest zbiór punktów przestrzeni gdzie .

    

   Przykłady:

   - wykresem jest górna część sfery o środku w

   punkcie (0,0) i promieniu 2

   

   - wykresem jest płaszczyzna

   - wykresem jest walec paraboliczny otrzymany przez

   przesuwanie paraboli wzdłuż osi OY
   

    

4. Pochodne funkcji dwóch zmiennych.

   Funkcje dwóch zmiennych mogą posiadać ekstrema: minima i maksima lokalne.

   Na przykład funkcja posiada w punkcie (0,0) maksimum.

   Ekstrema wyznacza się podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej badając pochodne funkcji.

   Z uwagi na dwie zmienne określa się dla funkcji pochodne cząstkowe:

   a) pierwszego rzędu

   - pochodna cząstkowa funkcji względem

   - pochodna cząstkowa funkcji względem

   b) drugiego rzędu

   - pochodna cząstkowa pochodnej względem

   - pochodna cząstkowa pochodnej względem

   - pochodna cząstkowa pochodnej względem

   - pochodna cząstkowa pochodnej względem

   Przykład:

   

   

   

   

   

   

   

   Oblicz pochodne cząstkowe funkcji

   a)

   b)

   c)

    

5. Warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji .
2. Wyznaczamy , i rozwiązujemy układ równań .

   

   będący warunkiem koniecznym istnienia ekstremum.

   Rozwiązując układ równań otrzymujemy punkty: ,...

   podejrzane o istnienie ekstremum. Sprawdzamy czy punkty

   podejrzane należą do dziedziny funkcji .

3. Wyznaczamy , , , i zapisujemy je w postaci wyznacznika zwanego wyróżnikiem funkcji.

   

4. Obliczamy wartość wyróżnika dla każdego z punktów podejrzanych o istnienie ekstremum.

- maksimum gdy

Zajęcia 4.

Temat: Całka nieoznaczona.

Cele:

• zapoznanie uczniów z definicją całki nieoznaczonej
• podstawowe wzory na całkowanie
• całkowanie przy użyciu wzorów
• całkowanie przez podstawianie
• całkowanie przez części

Przebieg zajęć:

1. Definicja całki nieoznaczonej.

   Całkowanie to operacja odwrotna do różniczkowania czyli wyznaczania pochodnej.

   Całkę nieoznaczoną funkcji zapisujemy i jest nią funkcja pierwotna taka, że .

   Przykład:

   zatem

   zatem

   zatem

   Pochodne funkcji różniących tylko stałą są równe:

   , itd.

   

   Zatem w wyniku całkowania otrzymujemy rodzinę funkcji różniących się

   stałą, co zapisujemy w następujący sposób:

   gdzie oznacza stałą (liczbę rzeczywistą)

    

   Zatem

   

   

    

2. Podstawowe wzory na całkowanie.

   

   - stała

   

   

   

   

   

   

    

   Oblicz całki

   a)

   b)

   c)

   d)

   e)

   f)

   g)

   h)

    

3. Całkowanie przez podstawianie.

   Pewne bardziej skomplikowane całki można przekształcić do łatwiejszych

   całek drogą podstawienia . Z

   Zachodzi wówczas wzór:

   gdzie

   Przykład:

   

    

   Oblicz całki

   a)

   b)

   c)

    

    

4. Całkowanie przez części

Zajęcia 5.

Temat: Całka oznaczona i jej zastosowanie.

Cele:

• zapoznanie uczniów z definicją całki oznaczonej
• interpretacja geometryczna całki oznaczonej
• zastosowanie całki oznaczonej do obliczania pola figury ograniczonej krzywymi
• zastosowanie całki oznaczonej do obliczania długości łuku
• zastosowanie całki oznaczonej do obliczania objętości i pola bryły obrotowej

Przebieg zajęć:

1. Definicja całki oznaczonej.

   Niech .

   Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale to

   .

   Przykład:

   

    

   Oblicz całki

   a)

   b)

   c)

   d)

    

    

2. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej.

   Jeżeli funkcja przyjmuje w przedziale wartości dodatnie to

   jest polem obszaru pomiędzy wykresem funkcji ,

   osią OX, oraz prostymi i .

   Przykład:

   

   

   Obszar jest trapezem o długości wysokości 2 i podstaw 1 oraz 3

   Stosując wzór na pole trapezu otrzymujemy

   

    

   1.Oblicz pole figury przedstawionej na rysunku.

   

    

   2.Oblicz pole pod łukiem sinusoidy.

    

    

3. Pole pomiędzy krzywymi.

   Jeżeli w przedziale to pole figury pomiędzy wykresami funkcji , oraz prostymi i obliczamy ze wzoru:

   

   Oblicz pole figury zawartej między krzywymi

   a) i

   b) i

   c) , ,

    

4. Długość krzywej.

   Długość krzywej obliczamy ze wzoru:

   

   

   Oblicz długość krzywej

   od punktu do punktu .

    

5. Objętość bryły obrotowej.

   Objętość bryły obrotowej obliczamy ze wzoru:

   

   

   Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót figury zawartej między krzywymi , , , względem osi OX.

    

6. Pole powierzchni obrotowej.